Сделаю тут небольшую заметку для себя.

Если в WordPress'e не работает кнопка «Добавить медиафайл», а также не открываются некоторые выпадающие списки, то откройте консоль браузера (клавиша F12, например) и посмотрите появляющиеся там ошибки. Чаще всего, элементы «админки» WordPress не работают из-за устаревших плагинов.

В некоторых случаях помогает добавление строки

define('CONCATENATE_SCRIPTS', false );

перед

require_once(ABSPATH . 'wp-settings.php');

в файле wp-config.php.

В моем случае, всего-лишь нужно было деактивировать плагин SocialGrid и всё заработало. Удачи!